Combinatoria para primaria

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Actividades secuenciales

Introducción Tradicionalmente, la enseñanza de la multiplicación fue pensada como contenido de segundo año bajo el supuesto de que los niños debían aprender primero a realizar las "cuentas", para luego aplicarlas en situaciones problemáticas. Aprender a multiplicar ha sido identificado con el aprendizaje de las “tablas” y las "cuentas". Hoy se sabe, sin embargo, que la construcción de conocimientos sobre la multiplicación no se logra cuando se aborda la enseñanza del algoritmo. Fácilmente se constata que muchos niños saben resolver los cálculos, pero no reconocen cuál es el conjunto de problemas que se resuelven con dicha operación. Asimismo, los niños pueden resolver problemas multiplicativos aún cuando no dominen los algoritmos tradicionales. Si aprender a multiplicar y a dividir no es terreno exclusivo de las cuentas, ¿qué significa entonces saber multiplicar y dividir? La construcción de estos conocimientos lleva varios años a los niños. ¿Cómo hacerlos “crecer” en cada año? ¿Cuáles son los diferentes tipos de problemas, los diversos procedimientos de resolución y estrategias de cálculo que se pueden abordar desde los primeros años de la escolaridad? Ofrecer elementos para responder a uno de los significados de la multiplicación es la finalidad de esta propuesta: "el producto de medidas (combinación)." La combinatoria es una de las secciones de las matemáticas. Es necesaria para los representantes de las más diversas especialidades. Con los problemas combinatorios tienen que enfrentarse los físicos, los químicos, los lingüistas, los ingenieros y muchos otros trabajadores científicos-técnicos. El estudio de la combinatoria es la base para la solución de muchos problemas de la teoría de probabilidades y sus aplicaciones. En esta propuesta se abordan tres ejemplos de actividades en torno al tema que pueden proponerse a nivel escolar. La secuencia Actividad 1 – Construcción de la “máquina de las posibilidades” Invitar a los alumnos a que traigan a la clase vasos descartables como los de la imagen para construir la “máquina de las posibilidades”. Para realizar tal tarea pueden reunirse en duplas de compañeros o en tríos. • En uno de los vasos pegar dos etiquetas de diferente color, como lo ilustra la imagen adjunta. • En el segundo vaso pegar otras cinco, diferentes de las anteriores. Actividad 2 - El vestuario de Valentina Consigna: ______________________________________________________________________________ - Reunidos en duplas o ternas, leer el enunciado del siguiente problema y responder a la pregunta que plantea: Valentina tiene dos remeras de diferente color (rojo y verde) y cinco calzas: amarilla, rosada, roja, marrón y violeta. ¿De cuántas maneras diferentes podrá vestirse Valentina? - Comprobar que estén todas y comparar entre equipos de trabajo, la respuesta encontrada. _________________________________________________________________________________ Cada una de las etiquetas del vaso arriba expuesto, representa al color de las remeras, y las etiquetas del segundo vaso, los colores de las calzas con las que Valentina podrá combinar su vestuario. Girando los vasos, fácilmente podrán reconocer todas las combinaciones posibles. Orientar a los estudiantes para que seleccionen una estrategia que les permita tener el control y registro de todas las combinaciones posibles, de manera de no repetir ninguna y de que todas estén contempladas. Pueden recurrir para esto, a algunas de las actividades presentes en las XO, o al recurso que cada dupla o trío considere óptimo. Una vez concluido el trabajo de los equipos, socializar las respuestas y compararlas para encontrar coincidencias y diferencias. Se recomienda, en esta etapa de la secuencia, visualizar el siguiente recurso: Su Browser no soporta la visualización de este objeto Actividad 3 – ¿Cuántas parejas se pueden formar? Nuevamente empleando vasos descartables para facilitar la exploración de las combinaciones posibles, solicitarle a los alumnos que encuentren todas las parejas que se pueden formar partiendo de los nombres que ya se presentan sobre el material ilustrado en la siguiente imagen: En uno de los vasos se colocan las etiquetas con los nombres de tres varones. En el otro, las etiquetas con los nombres de cuatro niñas. Girando los vasos, fácilmente podrán reconocer todas las combinaciones posibles. _________________________________________________________________________________ -¿Cuántas parejas se pueden formar combinando los nombres presentados? -Si se agregara una niña más, ¿cuántas parejas más podrían formarse? -¿Pasaría lo mismo si se agregara un varón en vez de una niña? ¿Por qué? _________________________________________________________________________________ Actividad 4- El candado Para abrir un candado codificado es preciso conocer la combinación exacta de números que posibilita su apertura. Es necesario girar el disco de encima hasta colocar determinado algoritmo en la posición del medio. Por último, se requiere hacer lo mismo con el disco de abajo. En cierto candado, en el disco superior se encuentran los números 1, 3, 5 y 7. En el inferior figuran los números 0, 2, 4 y 6. Para representar al candado del problema, recurriremos nuevamente a la “máquina de las posibilidades”. En este caso, las etiquetas tendrán registrados los números de cada uno de los discos del candado. _________________________________________________________________________________ ¿Cuáles son los códigos posibles de formar combinando los dos discos? ¿Cuántos son? Registrar las respuestas. _________________________________________________________________________________ Los niños, luego de varios problemas, podrán utilizar progresivamente estrategias que les permitan organizar la información y “no olvidarse" de ninguna posibilidad. Posteriormente se analizará con los alumnos la pertinencia de resolverlos por medio de una multiplicación y reconociendo que las escrituras 2 x 5 ó 5 x 2, representan el problema (en el caso del vestuario de Valentina). Estos cálculos pueden ser propuestos por los alumnos o incorporados por el docente para someterlos a análisis. Asimismo se considera muy productivo, promover discusiones con ellos en torno a: - la necesidad de combinar todos los elementos con todos los otros, - cómo hacer para no olvidarse de ninguno, - la conveniencia de resolver el problema de varias formas para estar más seguro, - la posibilidad de hacer dibujos, listas, cuadros de doble entrada, diagrama de árbol, etc. - la utilidad de ir anotando al lado números para después no confundirse al contar. - que luego de resolver el problema se pueden hacer al final las sumas o anotar cuál podría ser la multiplicación que resolvería el problema. Para que se produzcan avances en los procedimientos de resolución es necesario que los alumnos se enfrenten a este tipo de problemas durante cierto tiempo y que el docente oriente la marcha de la clase hacia el control de la exhaustividad y la economización de estrategias. Por ejemplo, frente al problema de combinar dos remeras y cinco calzas, habrá niños que hagan listas, dibujos; otros encontrarán el resultado con sumas y probablemente, habrá quienes lo resuelvan con la multiplicación "2 x 5 ó 5 x 2". La introducción de variables didácticas que tornen antieconómico el empleo de "máquinas de posibilidades" u otro tipo de registro gráfico como cuadros de doble entrada o diagramas de árbol, promoverá en el alumno, la necesidad de recurrir al cálculo, como la estrategia ganadora, por ejemplo cuando desde la consigna se emplean números muy grandes. Ejemplo: _______________________________________________________________________________ En una fábrica se confeccionan prendas con 42 variedades de telas (algodón, sintético, imitación cuero, etc) y de 89 colores diferentes. ¿Cuántas prendas de diferente tela y color podrán confeccionarse? _______________________________________________________________________________ Socializar todas las estrategias empleadas para llegar a la solución hará que se logren avances significativos. Para complementar lo que en esta secuencia se expuso, se recomienda acceder a los sitios sugeridos y consultar la bibliografía citada.

Adjuntos:

IMAGEN GIF: "Heladería"- ¿Cuántas opciones tengo si quiero elegir un helado de un sabor?

¿Y si prefiero un helado de dos sabores? ¿Serán más o menos opciones? ¿Por qué?
¿Qué ocurre con tres o cuatro sabores?
Para resolver el problema los niños podrán recurrir a la estrategia que les resulte más sencilla o conveniente: construir una nueva "máquina" de las posibilidades, dibujar los diferentes helados que pueden prepararse, realizar algún tipo de esquema (similar a un diagrama de árbol), escribir las combinaciones o incluso realizar algún tipo de cálculo.

Sitios sugeridos:

Texto: "¿De cuántas formas? Combinatoria (Primera parte)” Libro (presentado en tres partes) en el que se expone en una forma clara, la combinatoria, los métodos para la solución de los problemas combinatorios y otros conceptos relacionados.
Texto: “Multiplicación de 1º a 6º” Documento destinado a docentes. Propone orientaciones para la enseñanza de la multiplicación.
Video: “Alterados por Pi – Capítulo 11” Programa de divulgación matemática conducido por Adrián Paenza. En este capítulo se tratan, entre otros, el tema Combinatoria.
Sitio: "Matemática, ¿estás ahí? (Adrián Paenza) Sitio desde el que se puede acceder al libro de Adrián Paenza sobre números, problemas y curiosidades. Contempla además, contenidos relacionados con probabilidad. Incluye las soluciones de los problemas presentados.
Texto: "El niño, las matemáticas y la realidad" - G. Vergnaud .
Texto: "Orientaciones didácticas para la enseñanza de la multiplicación en los tres ciclos de la EGB"

Bibliografía:

-SADOVSKY, Patricia: "Enseñar Matemática hoy. Miradas, sentidos y desafíos." Libros del Zorzal, Buenos Aires, 2005.
-BELCREDI, Luis y ZAMBRA, Mónica: "Gauss 3. Matemática Tercer año del Ciclo Básico"- (Capítulo 6: "Estadística y Probabilidad"). La Flor de Itapebí, Montevideo, 2000.
-RODRÍGUEZ, Milton: "Tratamiento de la estadística y la probabilidad a nivel escolar" en "Curso de Actualización en la Enseñanza de la Matemática para Inspectores de Educación Primaria. ANEP, Montevideo, 2003.
-CHAMORRO, María del Carmen (Coordinadora): "Didáctica de las Matemáticas". Pearson Educación, Madrid, 2003.
-VERGNAUD, Gérard: "El niño, las Matemáticas y la realidad. Problemas de la enseñanza de las Matemáticas en la escuela primaria". Editorial Trillas, México, 1991.

Materiales:

Vasos descartables o material similar con el que se pueda construir "la máquina de las posibilidades".
Etiquetas de diferentes colores.
Adhesivo o pegamento.

Sugerencias:

Variar los contextos en los que el contenido "producto de medidas" esté presente.
Enlace para descargar esta propuesta didáctica en formato pdf.

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